《公务员录用规定(试行)》第三十条规定，“新录用的公务员试用期为一年。试用期内，由招录机关对新录用的公务员进行考察，并安排必要的培训。试用期满合格的，予以任职;试用期不合格的，取消录用”。由于吴某正处于试用期，单位不能对其进行辞退，如果吴某在单位未允许的情况下自费出国留学，单位可以对其考察不合格，将其取消录用。
《中华人民共和国公务员法》第八十一条第一项规定，“未满国家规定的最低服务年限的”公务员不得辞去公职;《新录用公务员任职定级暂行规定》第六条规定，“新录用公务员在机关最低服务年限为五年(含试用期)”。因此，由于公务员吴某正处于试用期，仍在国家规定的最低服务年限内，他不得辞去公职，不能提出辞职申请。
《行政机关公务员处分条例》第十九条规定，公务员“旷工或者因公外出、请假期满无正当理由逾期不归，造成不良影响的”，单位可以“给予警告、记过或者记大过处分;情节较重的，给予降级或者撤职处分;情节严重的，给予开除处分”。因此，如果吴某在单位未允许的情况下自费出国留学，单位还可以给予其开除处分。
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