涉嫌刑事犯罪，被公安机关刑事拘留后，尽快解除羁押的方式有以下几种：

1、不构成犯罪的情况下，要求无罪释放。（包含情节轻微不予追究的情形）

通常需要律师出具法律意见书，据理力争的同时，最好能够有不构成犯罪的证据，引起公安机关的重视，谨慎处理。

2、构成犯罪的情况下，争取被害人谅解，撤案。

与被害人达成调解意见，双方签订调解协议，同时由公安机关或律师出具谅解书，由被害人签字，公安机关有可能撤案。该方式适用于有被害人，且不涉及国家利益，情节较轻的犯罪。律师出具罪轻的法律意见书能够有效帮助撤销案件。

3、构成犯罪的情况下，争取取保候审

法定四中情形可以申请取保候审（详见刑事诉讼法第65条，此不赘述），取保候审程序简单，但实践操作并不简单，通常需要得到被害人谅解，同时还需要律师通过法律意见书的形式向公安机关阐明采取取保候审措施的可行性。